Logo d'aire maximale

Un logo doit être constitué d'un carré et d'un rectangle tels que la largeur du rectangle soit égale à la longueur du côté du carré. Pour le réaliser, on délimite ces deux surfaces avec une ficelle de  \(10\)  mètres de long. La figure suivante montre un exemple de configuration envisagée.

Soit \(x\) la longueur, en mètres, du côté du carré. Le but de l'exercice est de déterminer pour quelle valeur de \(x\) l'aire du logo est maximale.

1. a. Calculer l'aire du logo pour \(x=0,1 \ \text m\) .
    b. Expliquer pourquoi \(x\) appartient à l'intervalle \(I=\left[0;\dfrac 5 3 \right]\) . 
     c. Donner l'expression de l'aire du logo \(A(x)\)  en fonction de \(x\) .

2.  a. Déterminer les variations de la fonction \(A\)  sur l'intervalle \(I\) .
      b. Répondre au problème posé.
      c. Avec \(1 \ \text L\) de peinture, on peint \(10 \ \text m^2\) . Combien de litres de peinture seront nécessaires pour peindre la surface maximale du logo ?